Mandelbrot集合是什么
起因是在写AI Agent，写AI Agent时参考了OpenAI/Codex, Codex目前是Rust编写， 所以又去学习Rust，选择的方式是阅读O’REILLY的《Rust程序设计》, 第二章中用Mandelbrot集举例， 而Mandelbrot集合又确实很神秘且吸引人，为了搞懂Mandelbrot集的相关定理，证明， 以及性质又去学习了一些内容。
在手动编写代码绘制Mandelbrot时，一方面感叹分图案是如此复杂深邃又迷人， 另一方面有好几个疑问并没有在书中找到答案。所以又在ChatGPT的帮助下梳理了疑问， 重新组织了一篇更详细的介绍,希望能帮助其他也有疑问的小伙伴。
首先就是Mandelbrot集到底是什么，它的数学定义其实很简单:
对于复数 ( c )，从[z_0 = 0] 开始，它的n+1} = z_n^2 + c]
| 如果这个序列 不会发散（即 ( | z_n | ) 始终有界），那么复数 ( c ) 就属于 Mandelbrot 集。 |
需要注意：( c ) 是复数, 且没有解析公式，只能通过迭代计算判断
没有解析公式，实际上决定了我们后续的程序结构。
以上是Mandelbrot集的数学定义，为了更容易的理解，这里直接使用书中提到的引导。
对于下面的一个循环赋值,如果可以运行的话，x的值会如何变化？对于小于1的数求平方会得到一个更小的数， 即结果趋向于0，1的平方还是1，对于大于1的数平方会得到更大的数字，即结果趋向于无穷大。 因此根据传入的值，x要么趋向于0，要么一直是1，要么趋向于无穷大。
fn square_loop(mut x: f64) {
loop {
x = x * x;
}
}
但是对于下面的例子,情况会变得有些复杂。这一次，x从0开始，每次迭代会在平方之后加上一个c。
fn square_add_loop(c: f64) {
let mut x = 0.;
loop {
x = x * x + c;
}
}
用归纳法可以证明，如果c < -2或者c > 1/4, 则迭代之后一定是发散的。
实数的证明相对直观，比如先假设最终收敛到L，则此时L = L*L + c,为了满足有实数解，
c的第一个边界就可以确定。其他边界条件可以咨询chatGPT详细解决。
如果再复杂一点，不仅限于实数，推广到复数。
use num::Complex;
fn complex_square_add_loop(c: Complex<f64>) {
let mut z = Complex { re: 0.0, im: 0.0 };
loop {
z = z * z + c;
}
}
这个证明起来会需要一些推导，不过总体上并不复杂，用归纳法+反证法即可，
wiki上有几个定理的证明过程,
至于为什么会想到1/4, 2, 1/2这些边界数值，也可以进一步咨询chatGPT。
这里直接给出结论，如果c属于Mandelbrot集合，则|Zn| < 2,
反过来也成立，如果|Zn| > 2, 则最终迭代一定会发散，
这样我们可以直接通过判断迭代过程中|Zn|是否大于2来判断这个c是否属于Mandelbrot集合。
不过我们的运算毕竟是有限的，不可能无限增加精度。有可能发散速度非常慢，在我们有限的运算内仍然没有大于2，
所以我们需要返回迭代次数，通过迭代次数设置像素颜色，大体上可以绘制Mandelbrot集合图像。
为什么不能从集合出发？
如何画出mandelbrot集合呢？很直观的会产生这样的想法：
Mandelbrot 集是一个集合， 那先把集合的内容计算出来，然后在平面上绘制这些数据点。
答案是：做不到，也不该这么做。
原因在于Mandelbrot 集是 连续的, 它具有 无限精细的结构,我们没有“枚举所有点”的方法
因为无法“生成 Mandelbrot 集”，所以我们只能 测试某一个复数是否属于它。
所以正确的绘制顺序应该是先从图像像素出发，把这个像素映射到选中的复平面内， 然后判断这个点在有限次的运算中，是否会出现|Zn| > 2，从而判断这个点是否属于Mandelbrot 集。
像素 → 复数 → 是否逃逸 → 着色
而不是反过来。
为什么必须做“像素 → 复平面”的映射？
fn pixel_to_point(bounds: (usize, usize), pixel: (usize, usize),
upper_left: Complex<f64>, lower_right: Complex<f64>) -> Complex<f64> {
let (width, height) = (lower_right.re - upper_left.re, upper_left.im - lower_right.im);
Complex {
re: upper_left.re + pixel.0 as f64 * width / bounds.0 as f64,
im: upper_left.im - pixel.1 as f64 * height / bounds.1 as f64
}
}
[
\begin{aligned}
\mathrm{Re}(c) &= x_{\min} + \frac{x}{W}(x_{\max}-x_{\min})
\mathrm{Im}(c) &= y_{\max} - \frac{y}{H}(y_{\max}-y_{\min})
\end{aligned}
]
其中：
- ((x, y)) 是像素坐标
- (W, H) 是图像宽高
- ([x_{\min}, x_{\max}] \times [y_{\min}, y_{\max}]) 是复平面区域
以上书中的Rust代码，对于这个映射，我的另一个疑问是，
一个像素不也是一个点吗？ 为什么要引入“复平面区域”？
这里的关键区别在于：像素是点, 但“像素对应哪个复数”这个关系，必须由一个 复平面区域 来定义
否则我们无法回答这几个问题：
- 屏幕左上角是哪个复数？
- 右下角是哪个复数？
- 实轴与虚轴的比例是多少？
所以代码中，我们做的并不是：
像素 → 复数点
的映射，而是：
像素 → 复平面某个矩形区域中的点
这种映射。
这个函数完成的数学映射可以写成：
为什么放大后经常“一片漆黑”？
书中代码区域并不能看到Mandelbrot集合的全貌，是因为所选区域-1.20,0.35 -1,0.20本身无法覆盖全貌。 为了看清图像内部，通常会选则更小的区域，但是实际体验时经常遇到漆黑一片的情况， 原因通常不是代码错误，而是 选区错误。
Mandelbrot 图像中可分为三类区域：
-
集合内部 所有点都不逃逸 → 通常绘制为黑色
-
集合外部 很快逃逸 → 颜色变化单调
-
集合边界 逃逸与不逃逸的临界区域 → 分形细节全部来自这里
如果我们选择放大的窗口：
- 完全落在集合内部 → 整张黑
- 离边界太远 → 细节很少
一条非常实用的经验法则：
放大一定要沿着边界走
也就是“看起来快要全黑，但还没完全黑”的地方。但是实际处理起来，特别使我们当前的Rust代码， 无法沿着边界走，一个稳妥的方法是直接沿着经典观光路线。
下面是一条 4:3 比例 · Seahorse Valley（海马谷） 的示意路径，适合初学者逐步放大观察。
五个窗口区域（左上 → 右下）
-2.5,1.5 1.5,-1.5
-0.95,0.25 -0.55,-0.05
-0.7635,0.1464 -0.7235,0.1164
-0.7456439,0.1333259 -0.7416439,0.1303259
-0.7438408,0.1319773 -0.7434408,0.1316773
我们只需要：固定图像比例为 4:3,比如我是4000x3000, 依次用这些复平面窗口渲染, 每一张图适当提高最大迭代次数即可绘制, 就能清晰看到分形结构逐步展开。
